Lõplike elementide analüüs: mille poolest erinevad esimese ja teise astme elemendid?


Vastus 1:

Wasfi Zakaria on suurepärase kirjelduse lähenemisviisist, mis eristab esimese järgu vormi teise järgu elemente.

Elementide sissejuhatus on keeruline, kuna need muutuvad kõrgemaks.

Vaatame kolmnurka reaalses ruumis.

Lineaarse kolmnurga elemendi tegelikes koordinaatides olev kanooniline kujufunktsioon on:

P = a + bx + cy (3 parameetrit ja 3 sõlme)

ja

dP / dx = b või deformatsioon x-suunas võib y-s lineaarselt varieeruda.

dP / dy = c või deformatsioon y-suunas võib x-s lineaarselt varieeruda.

Bilineaarse (teise järgu) kolmnurga tegelikes koordinaatides on kanooniline kujufunktsioon:

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy (6 parameetrit ja 6 sõlme)

ja

dP / dx = b + dx + fv

dP / dy = c + ey + fx

Ja jälle on meil sümmeetriline tüvekäitumine.

Vaatame nüüd lineaarset kvad-elementi:

P = a + bx + cy + dxy (neli parameetrit, neli sõlme)

ja

dP / dx = b + dy

dP / dy = c + dx

Pange tähele, et väljal d / dx ja d / dy on asümmeetria.

Vaatame nüüd biquadrate serendipity elementi (kaheksa sõlme):

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy + gxy ^ 2 + hx ^ 2y (kaheksa parameetrit, kaheksa sõlme)

ja tüveväljad võib määrata:

dP / dx = b + 2dx + fy + gy ^ 2 + 2hxy

dP / dy = c + 2ey + fx + 2gxy + hx ^ 2

ja jällegi pole tüveväljad sümmeetrilised.

Nii et kolmnurga elementidel (ja tetraedrilistel elementidel i 3D) on sümmeetrilised deformatsiooni (ja seega ka stressi) väljad, samas kui neliku serendipiteelementidel pole.

Miks see oluline on?

Vaatame puhast pidevat nihkevälja (pidev venitus). Kõigil elementidel on ainult pidev tüvetermin ja kõik käituvad võrdselt hästi.

Vaatame ristlõike lineaarset koormust (nagu öeldakse puhta painutamise korral). lineaarne kolmnurk on püsitüvi ja vastab tegelikule tüvele astmefunktsioonide kogumina ja ühtlustub väga aeglaselt. Teatud probleemide (plastilisus) korral need elemendid tegelikult lukustuvad ja on õigesti öeldud, et lähenemiskäitumine on veider. bilineaarsed elemendid võivad aga selgesõnaliselt kujutada lineaarselt varieeruvat tüvevälja kas x-s või y-s ja elemendid lähenevad kohe ühe elemendi jaoks.

Vaatame nüüd kõrgema järgu nihkevälju, näiteks kuupmeetri nihkevälja, mis annab ruutkeskmise tüve väljad (painutamine lõppkoormuse all). Bilineaarne kolmnurk sobib nihkeväljale ruutkeskmise väljaga ja konvergents on suhteliselt kiire. Nagu tark, võib tüvevälja variatsiooni sümmeetriliselt kujutada kogu elemendis ja tüveväljaga käitutakse hästi. Vaatame nelikelemente. Nad kaardistavad ka nihkevälja ruutkeskmise nihkeväljade kogumina ja lähenevad üsna kiiresti. Kuid nüüd on olemas teise astme tüvekomponendid ja need võivad eristada teise astme termineid kujufunktsioonide tuletises. Ja kuna nihkeväli muutub järjest keerukamaks ja keerukamaks, erutuvad need kõrgema astme tüveväljad üha enam. Tulemuseks võivad olla võnkuvad tüved (ja seega ka pinged), vt allpool.

võetud:

Struktuurianalüüs lõplike elementide meetodil. Lineaarne staatika

Seda arutatakse lähemalt:

Kaheksa sõlme serendipiidsustasapinna stressielemendi silumiseks on väikseimad ruudud

ja

Lõplike elementide protseduurid

ja

Struktuurianalüüs lõplike elementide meetodil. Lineaarne staatika

Selle väljakutse jaoks on väga tõhus lahendus elemendi (sel juhul sirgjoone) silumiseks minimaalsed ruudud.

Mõju:

1) nelinurgad / ristkülikud lähenevad kiiremini kui kolmnurgad / tetraeedrid

2) bilineaarsed elemendid lähenevad palju kiiremini kui lineaarsed elemendid

3) bilineaarsed (või langrangia või ...) nelikud / ristkülikud on vastuvõtlikud parasiitilise stressi võnkumistele

4) deformatsiooni / pingeväljade kõige vähem ruudukujuline sobitamine elemendiga on selle võnkumise vähendamiseks väga efektiivne


Vastus 2:

Pärast diskreetimist FEA-s omistatakse kõigile elementidele funktsioon (polünoom), mida kasutatakse elemendi käitumise kirjeldamiseks. Selle jaoks on eelistatud polünoomi võrrandid, kuna neid saab hõlpsasti eristada ja integreerida. Elemendi järjekord on sama kui elemendi tähistamiseks kasutatud polünoomi võrrandi järjekord.

Lineaarsel või esimese järgu elemendil on sõlmed ainult nurkades. See on midagi Edge-keskse kuupstruktuuri sarnast.

Teise järgu elemendil või ruutkeskmisel elemendil on lisaks nurgas olevatele sõlmedele ka keskmised külgsõlmed (serv + korpus + näokeskne kuupstruktuur).

Ülaltoodud diagrammi lineaarsel elemendil on selgelt kaks sõlme serva kohta ja seetõttu on elemendi käitumise kajastamiseks vaja ainult lineaarset võrrandit.

Kuid kvadraadielement vajab oma käitumise kirjeldamiseks ruutkeskmist võrrandit, kuna sellel on kolm sõlme.

Elementide puhul, milles soovite tabada kumerust, eelistatakse kõrgema astme polünoome. Esimese astme elemendid ei suuda kumerust tabada.

Elemendi järjestusel pole midagi pistmist geomeetriaga. Alloleval diagrammil saab sama kolmnurga korral teha nii esimese kui ka teise diskreteerimise, kuid teisel järjel on head võimalused kumeruse hõivamiseks.

Keerukate kumeruste täpseks hõivamiseks on vaja väga kõrge järguga polünoome, kuid need tulenevad suurenenud arvutusaja arvelt. Seetõttu on parem vahetada täpsuse astet ja arvutuslikku aega.

Nüüd räägime esimese ja teise järgu elementide vahel olevate sõlmede arvust. Sõlmede arv saabub Pascali kolmnurga abil.

Järgnevad on kolmnurkade kohta. 0-nda korral on tingimuste arv 1, mis peab olema sõlmede arv 1.

Lineaarse (esimese järgu polünoomi) korral on tingimuste arv 3, mis tähendab, et sõlmede arv peab olema 3.

Ruutkeskmise (teise järgu polünoomi) korral on tingimuste arv 6, mis on sõlmede arv = 6.

Nüüd peame ruutude puhul arvestama ruut kahe kolmnurga lisamisega. 0-nda järgu, lineaarse ja ruutkeskmise tulemused on järgmised -


Vastus 3:

Esimese astme elemendid koosnevad tavaliselt sirgete kombinatsioonist (tähenduses juhivad FOE ehitust lineaarsed deferentsvõrrandid või esimese järgu deferentsvõrrandid), st kolmnurk, tat-element. Need on kõige täpsemad, kui käsitletakse geomeetriliselt kallutatud kujundeid, nagu täiuslik ruut, ristkülik jne. Neil on soovitud territooriumil vähem sõlmi.

Teise astme elemendid koosnevad kõveratest ja kõverjoontest (tähenduses reguleerivad SOE konstrueerimist teise astme hälbevõrrandid). Neil on kalduvus näidata suuremat täpsust nii geomeetriliselt kallutatud kui ka väga keerukate või keerukate geomeetriliste elementide ajal. FEA


Vastus 4:

see on polünoomifunktsioon, mis kirjeldab elementi, tegelikult on esimese astme elementidel järgmine funktsioon: P (x) = a * x + b

ja teise järgu elementide puhul on funktsioon umbes selline: P (x) = a * x ^ 2 + b * x + c

ülaloleval pildil on elementide esimene rida 1. järku, 2. järjekorra elemendid aga teisel real.

PS: näete teise järgu elementide paraboolset vormi, see on asi, mida 1. järgu elemendid ei saa teile anda.